CIRCULAR 115
UNO MÁS UNO MÁS CINCO
Hace unos días estaba reflexionando sobre ciertas coincidencias: he nacido un día 7 a las 7PM y minutos, los números que componen mi fecha de nacimiento (07-05-1930) suman justamente 7, mi apellido se compone de 7 letras y todos Uds. tienen uno o más 7 dominantes en su fecha de nacimiento o en su nombre, como en el caso de Mariela, nacida el 23-11-1953, cuyo nombre se escribe con siete letras al igual que los de Gabriel, Luciana, Carlota Cecilia, Alekito, Lorenzo y Tatiana, mientras Eric nació en el 97 y, a mayor abundamiento, Carlota vio la luz un día 7 y Gabriel en el 61; en suma, demasiados siete. Recordé entonces, como admití en la Circular 110, que no consigo encontrar una regla sencilla para determinar la divisibilidad por 7 de un número (y por lo visto tampoco Uds. lo han conseguido, por más que el tema pueda haberlos mantenido desvelados, como sospecho). Al cabo de mis meditaciones -sobre la escala musical (do re mi fa sol la si), la Creación (monday tuesday wednesday thursday friday saturday sunday), los vicios capitales (ira gula pereza soberbia avaricia envidia lujuria)- y de mis divagaciones -relativas a los sabios de la antigua Grecia (Tales Pítaco Bías Solón Cleóbulo Misón Quilón), las iglesias de la Apocalipsis (Efeso Esmirna Pérgamo Tiátira Sardis Filadelfia Laodicea), los siete Santos florentinos de Monte Senario, los enanos de Branca de Neve (Dotto Brontolo Mammolo Eolo Pisolo Gongolo Cucciolo)- tropecé (una ciliegia tira l'altra) con otro comportamiento anómalo del 7, en este caso relativo a los cubos, y decidí relatarlo en esta Circular, que conmemora el septuagésimo primer cumple de Aldo Marco Giuseppe, florentino de nacimiento.
Como Uds. habrán observado, la diferencia entre los cubos de dos números enteros sucesivos suele ser un número primo. Por ejemplo:
13 = 1
23 = 8
diferencia: 7
43 = 64
53 = 125
diferencia: 61
Sin embargo hay casos en que la diferencia no es un número primo, sino un número divisible por 7 y, obviamente, por su ocasional multiplicador (este último también un número primo). Es probable que entre Uds. haya quien no confíe a ciegas en mi afirmación, lo que me induce a profundizar.
Después del entrenamiento sobre los cuadrados que implica la lectura de la Circular 114, espero que hasta Alekito acepte sin protestas la fórmula del cubo, o sea:
A)* (a-1)3 = a3 - 3a2 + 3a - 1,
como asímismo su inversa:
B)* (a+1)3 = a3 + 3a2 + 3a + 1
De B) se deduce que la diferencia entre a3 y (a+1)3 es 3a2+3a+1. Sigue un ejemplo, basado en a=3:
B)* 64 = 27+27+9+1 (diferencia = 37)
Observen que 3a2+3a, o sea 3(a2+a), es un número par, porque si a es un número par, tanto el triple de su cuadrado como su triple como la suma de los dos son pares, y si a es impar tanto el triple de su cuadrado como su triple son impares y su suma es par. Por lo tanto 3(a2+a)+1 es impar y como tal no es divisible por un número par. Es evidente, asimismo, que 3(a2+a) es divisible por 3, por lo que 3(a2+a)+1 no puede ser divisible por 3 y menos por 9 que es múltiplo de 3. Veamos ahora si es posible dividirlo por 5 que, a parte del 7, es el único entero de un dígito que nos queda. Si 3(a2+a) pudiese ser un número que termina con 4, 3(a2+a)+1 podría tener como divisor el 5. Lamentablemente ello no es posible. Para que 3(a2+a) terminase con 4, a2+a debería terminar con 8 (3x8=24), pero en ese caso a2 debería terminar con un dígito tal que sumándole el último dígito de a diese por resultado un número cuyo último dígito fuera 8 y, a la vez, a debería terminar con un dígito que, elevado al cuadrado, diese como resultado un número cuyo último dígito fuera igual al último dígito de a2 (más que evidente, ya que a2 no puede diferir de a2). Esto no se da en la naturaleza, según la siguiente tabla:
Para que a2+a sea un número cuyo último dígito sea 8,
por lo tanto de último dígito distinto al último dígito de a2. Por otra parte, que 3(a2+a)+1 pueda ser divisible por 7 es un hecho: por ejemplo la diferencia entre 93 y 83 es 217, o sea 7x31, y la diferencia entre 20 3 y 19 3 es 1141 (7x163).
Al término de esta Circular, me doy cuenta de no haber demostrado que no puede haber números primos divisores de 3(a2-a)+1 además o en lugar del 7 y de su accidental compañero: al fin y al cabo, en lo relativo a números primos diferentes al 1, me he limitado a descalificar el 2, el 3 y el 5. Dejo esta última parte de la investigación a vuestro cuidado, dándome momentáneamente por satisfecho con haber puesto en evidencia que el 7 es un número que se las trae.
Buenos Aires 7 de mayo de 2001
Para Mariela, Gabriel, Luciana, Carlota, Eric, Alekito, Lorenzo, Tatiana y en memoria de Paula (26-10-1951), Laura (02-02-1983), y Sofía Florencia, que, con Esteban, doy por presentes entre nosotros.