CIRCULAR 114
OBVIEDADES A PROPÓSITO DE LOS CUADRADOS
Los cuadrados de los números enteros se suceden con una diferencia entre uno y otro igual a la progresión de los números impares. Así la diferencia entre 0 y 1 es 1, entre 4 y 1 es 3, entre 9 y 4 es 5 y así sucesivamente. Es muy probable que esto no los tome por sorpresa, contrariamente a lo que me ha ocurrido a mí cuando, hará una semana, me percaté de esta rareza. Para cerciorarme de que esta ley no se limite a unos pocos cuadrados de uso más frecuente, reconstruí la ecuación que cuantifica la diferencia en cuestión, y aquí la transcribo:
A) a2 = (a-1) 2 + 2a - 1
Como es obvio, 2a-1 es un número impar, cuyo inmediato antecesor (2a-3), aparece en la ecuación siguiente, relativa al cuadrado de a-1 y análoga a la A):
B) (a-1) 2 = (a-2) 2 + 2(a-1) - 1 = (a-2) 2 + 2a - 3
Ejemplo (a = 4):
A) 16 = 9 + 7
B) 9 = 4 + 5
El fundamento lógico, quizás no demasiado evidente, de esta progresión numérica puede expresarse así: al aumentar de un entero la base de la potencia cuadrática (x) se aumenta el número expresado por la potencia (x) de (alfa) una cantidad equivalente a la base originaria más (beta) una cantidad equivalente a la base originaria más uno. Llamemos (y) la nueva potencia. Al aumentar de otro entero la base originaria, se aumenta el número expresado por la potencia (y) de (gamma) una cantidad equivalente a la base originaria más uno más (delta) una cantidad equivalente a la base originaria más dos. Llamemos (z) esta tercer potencia. Por lo tanto los números expresados por las tres potencias (x, y, z) están distanciados entre sí por dos números impares sucesivos, ya que (y) se obtiene agregando a la potencia (x) el doble de su base más uno, y (z) agregando a la potencia (y) el doble de la base de la potencia (x) más tres.
Buenos Aires, 29 de abril 2001 (día de ñoquis)
Para Mariela, Gabriel, Luciana, Carla, Eric, Alexánder, Lorenzo, Tatiana
POST SCRIPTUM
MÁS DE LO MISMO
Al releer la Circular 114 me he dado cuenta, por una observación de Grazia, que la demostración resulta más evidente si se recurre a la representación geométrica.
La relación entre a 2 y (a+1) 2 se grafica así (por a = 2):
[Sigue el dibujo]
donde la figura completa representa 32 y los 4 cuadrados con * representan 22.
Es obvio que la diferencia entre los dos cuadrados es de 1(2+3). Asimismo la diferencia entre a2 y (a+2)2 es de 2(2+3) y así sucesivamente. Se deduce que la diferencia, que llamo b (2+3, en el ejemplo), es forzosamente un número impar, del que se puede deducir a con la siguiente fórmula: a= (b-1)/2
Por ejemplo, por b = 9, a = 8/2 = 4; vale decir 9 = 5 2 - 4 2 = 25 - 16.
28 de octubre de 2008